Para un sistema en el que se requiere una relación de transmisión de 10:1 se recomienda un tren de engranajes compuesto.
El primer paso para diseñar una caja de engranajes es obtener un esquema general en el que se detalla la cantidad mínima de ejes y engranajes con sus posibles características que harán posible la velocidad y/o torque requerido. Luego se diseñan los engranajes y ejes con un análisis estático y dinámico, y por último se diseñan los rodamientos, chavetas y demás accesorios.
Se resuelve el problema según el procedimiento de Roloff/Matek.
Diseño de una caja de transmisión con engranajes de dientes rectos
B. Relaciones de transmisión provisionales para la primera y segunda etapa
Velocidad de entrada:
\(n_1 = 3000\, \text{rpm}\)
Velocidad de salida:
\(n_3 = 300\, \text{rpm}\)
Relación de transmisión intermedia para dos etapas (Tabla 21-11):
\(i_1 = 3.5 \)
Selección (Ecuación 21.62):
\(i_{total} = \dfrac{i_1}{i_3} = 10\)
Velocidad de transmisión preliminar de la 2da etapa:
\(i_{i2} = \dfrac{i_{total}}{i_{i1}} = 2.86\)
C. Número de dientes del engranaje conductor
Según la tabla Tabla 21-12b se puede elegir un número de dientes recomendado para una dureza < 230 HB con una relación de transmisión intermedia, se toma como valor seguro = 30 dientes, este valor se muestra en las columnas 3 y 4 de la tabla indicada.
D. Determinación del módulo de la 1ra etapa
El diámetro del eje del motor (Tabla 16-21):
\(d_{sh} = 42\, \text{mm}\)
El ángulo de hélice para los dientes del engranaje:
\(\beta = 0\)
El número de dientes seleccionado:
\(z_1 = 30\)
Determinación del módulo de la 1ra etapa con un diámetro de eje conocido y diseño del engranaje sobre el eje (Ecuación 21.63):
\(m_{1.1} = \dfrac{1.8d_{sh} cos(\beta)}{z_1 – 2.5} = 2.75\, \text{mm}\)
Factor de aplicación para el motor eléctrico de accionamiento y choques moderados (Tabla 3-5a):
\(K_A = 1.25\)
Potencia del motor:
\(P_{AN} = 11\, \text{kW}\)
Velocidad del motor:
\(n_{AN} = n_1\)
Par de accionamiento del motor (Ecuación 11.11):
\(T_{AN} = \dfrac{K_A P_{AN}}{n_{AN}} = 43.77\, \text{Nm}\)
T1eq = TAN
Relación ancho – diámetro para engranajes sobre ejes en voladizo; el engranaje es de material VCN con una dureza HB > 200 (Tabla 21-13a):
\(\psi_{d1} = 0.7\)
Resistencia a la fatiga de la raíz del diente (Tabla 20-1):
\(\sigma_{Flim} = 205\, \mathrm{N/mm^2}\)
Determinación del módulo de la 1ra etapa con el par de accionamiento y la resistencia del material (Ecuación 21.65):
\(m_{1.2} = 1.85 \sqrt[3]{\dfrac{T_{1eq} cos^2(\beta)}{z_1^2 \psi_{d1} \sigma_{Flim1}}} = 1.29\, \text{mm}\)
Resistencia a la fatiga del flanco del diente (Tabla 20-1):
\(\sigma_{Hlim} = 560\, \mathrm{N/mm^2}\)
Engranaje montado asimétricamente (Tabla 21-13a):
\(\psi_{d2} = 1.1\)
\(u_1 = i_{i1}\)
Determinación del módulo de la primera etapa con el par de accionamiento y la resistencia del material (Ecuación 21.65):
\(m_{1.3} = \dfrac{95 cos(\beta)}{z_1} \sqrt[3]{\dfrac{T_{1eq}}{\psi_{d2} \sigma^2_{Hlim}} \dfrac{u_1 + 1}{u_1}} = 1.73\, \text{mm}\)
Los cálculos de dimensionamiento conducen a diferentes tamaños de módulo, un módulo grande genera grandes dimensiones de los componentes
mecánicos, por otro lado, un módulo pequeño genera grandes cargas sobre los engranajes. El material del engranaje conductor debe tener mayor resistencia que el engranaje conducido ya que soporta mayor concentración de esfuerzos debido a las velocidades que son más altas. Para efectos prácticos se considera el mismo material para todos los engranajes:
\(m_1 = max (m_{1.1}, m_{1.2}, m_{1.3}) = 2.75\, \text{mm}\)
El módulo elegido es:
\(m_1 = 3\, \text{mm}\)
E. Dimensiones del piñon
Diámetro primitivo del piñon (Ecuación 21.1):
\(d_1 = z_1 m_1 = 90\, \text{mm}\)
Diámetro de la raíz (Ecuación 21.7):
\(d_{f1} = d_1 – 2.5 m_1 = 82.5\, \text{mm}\)
Diámetro del cubo para mecanizado del canal chavetero (Tabla 12-1a):
\(D_N = 1.8 d_{sh} = 75.6\, \text{mm}\)
Verificación:
\(D_N < d_{f1} => \text{OK!}\)
F. Revisión de valores obtenidos en la 1ra etapa:
Número provisional de dientes (Ecuacion 21.9):
\(z_{i2} = z_1 i_{i1} = 105\)
Según el valor obtenido redondeo el entero más cercano:
\(z_{2} = 106\)
Relación de transmisión real de la 1ra etapa (Ecuación 21.9):
\(i_{1} = \dfrac{z_2}{z_1} = 3.53\)
Diámetro primitivo de la corona:
\(d_{2} = z_2 m_1 = 318\, \text{mm}\)
Distancia entre ejes I y II (Ecuación 21.8):
\(a_{1} = \dfrac{d_1 + d_2}{2} = 204\, \text{mm}\)
Velocidad real del eje II (Ecuación 21.9):
\(n_{2} = \dfrac{n_1}{i_1} = 849.06\, \text{rpm}\)
G. Calidad del engranaje de la 1ra etapa
La calidad del piñón se encuentra en la tabla Tabla 21-7b, para el caso que estamos resolviendo será considerado de 8.
Velocidad tangencial en el diámetro primitivo (Tabla 21-7b):
\(v_{1} = \dfrac{d_1 n_1}{2} = 14.14\, \text{m/s}\)
H. Determinación del ancho del piñón:
Para dimensionar el ancho de los engranajes se recomienda que los dientes del piñón deban ser ligeramente más anchos que los de la corona para poder compensar las imprecisiones de instalación en la dirección axial, imprecisiones de fabricación e instalación, así como la desalineación de los engranajes bajo carga.
Ancho del piñon en función de la relación diámetro-ancho:
\(b_{1.1} = \psi_{d1} d_1 = 63\, \text{mm}\)
Relación de ancho del módulo (Tabla 21-13b):
\(\psi_{n1} = 20\)
Ancho del piñon en función de la relación módulo-ancho:
\(b_{1.2} = \psi_{n1} m_1 = 60\, \text{mm}\)
\(b_{1} = max(b_{1.1}, b_{1.2}) = 63\, \text{mm}\)
El ancho elegido del piñón es:
\(b_{1} =70\, \text{mm}\)
Y el ancho ligeramente mayor para la corona es:
\(b_{2} =68\, \text{mm}\)
I. Determinación del diámetro del eje intermedio (Eje II):
El material de los ejes será AISI 1045
La potencia de accionamiento del motor:
\(P_{BN} = P_{AN} = 11\, \text{kW}\)
Par de torsión del eje II:
\(T_2 = \dfrac{K_A P_{BN}}{n_2} = 154.65\, \text{Nm}\)
Momento para distancia de rodamientos relativamente grandes (Ecuación 11.15):
\(M_v = 2.1 T_2 = 324.76\, \text{Nm}\)
Factor de influencia de tamaño tecnológico, asumiendo que el diámetro es inferior a 100 mm (Tabla 3-11a):
\(K_t = 1\)
Resistencia a la fatiga por flexión (Tabla 1.1):
\(\sigma_{bWN} = 350\, \mathrm{N/mm^2}\)
Resistencia afectada por el factor de influencia:
\(\sigma_{bW} = K_t \sigma_{bWN} = 350\, \mathrm{N/mm^2}\)
\(\sigma_{bD} = \sigma_{bW}\)
Diámetro del eje:
\(d_{sh2.1} = 3.4 \sqrt[3]{\dfrac{M_v}{\sigma_{bD}}} = 33.16\, \text{mm}\)
Redondeo del diámetro del eje:
\(\sigma_{sh2} = 40\, \text{mm}\)
J. Determinación del módulo de la 2da etapa:
Número de dientes (Tabla 21-12a):
\(z_3 = 26\)
Determinación del módulo de la segunda etapa con un diámetro de eje conocido y diseño del engranaje sobre el eje (Ecuación 21.63):
\(m_{2.1} = \dfrac{1.8 d_{sh2} cos(\beta)}{z_3 – 2.5} = 3.06\, \text{mm}\)
\(T_{2eq} = T_2\)
Relación ancho-diámetro para engranaje montado asimétricamente sobre el eje, el
engranaje es de material VCN con una dureza HB > 200 (Tabla 21-13a):
\(\psi_{d3} = 1.1\)
Resistencia de la raíz del diente para el material del piñón (Tabla 20-1):
\(\sigma_{Flim3} = 205\, \mathrm{N/mm^2}\)
Determinación del módulo de la segunda etapa con el par de accionamiento y la
resistencia del material (Ecuación 21.65):
\(m_{2.2} = 1.85 \sqrt[3]{\dfrac{T_{2eq} cos^2(\beta)}{z_1^2 \psi_{d3} \sigma_{Flim1}}} = 1.69\, \text{mm}\)
\(u_2 = T_{i2}\)
Resistencia a la fatiga del flanco del diente (Tabla 20-1):
\(\sigma_{Hlim} = 560\, \mathrm{N/mm^2}\)
Determinación del módulo de la primera etapa con el par de accionamiento y la
resistencia del material:
\(m_{2.3} = \dfrac{95cos(\beta)}{z_3} \sqrt[3]{\dfrac{T_{2eq}}{\psi_{d3} \sigma^2_{Hlim}} \dfrac{u_2+1}{u_2}} = 3.09\, \text{mm}\)
\(m_2 = max(m_{2.1}, m_{2.2}, m_{2.3}) = 3.09\, \text{mm}\)
El módulo elegido (Tabla 21-1):
\(m_2 = 4\, \text{mm}\)
K. Calidad de engranaje de la segunda etapa.
La calidad del piñón se encuentra en la tabla Tabla 21-7b, para el caso que estamos resolviendo será considerado = 9.
Diámetro primitivo del piñón (Ecuación 21.1):
\(d_3 = m_2 z_3 = 104\, \text{mm}\)
Velocidad tangencial en el diámetro primitivo:
\(v_2 = \dfrac{d_3 n_2}{2} = 4.62\, \text{m/s}\)
L. Determinación del ancho del engranaje de la segunda etapa
Ancho del piñon en función de la relación diámetro-ancho:
\(b_{3.1} = \psi_{d3} d_3 = 114.4\, \text{mm}\)
Relación de ancho del módulo (Tabla 21-13b):
Ancho del piñon en función de la relación módulo-ancho:
\(b_{3.2} = \psi_{m3} m_2 = 100\, \text{mm}\)
\(b_3 = max(b_{3.1}, b_{3.2}) = 114.4\, \text{mm}\)
El ancho elegido del piñon es:
\(b_3 = 100\, \text{mm}\)
Se seleccionó el valor mínimo necesario para cumplir con los requerimientos a fin de que la fabricación sea rentable.
El ancho ligeramente mayor para la corona es:
\(b_2 = 98\, \text{mm}\)
M. Revisión de valores obtenidos en la segunda etapa.
Número provisional de dientes (Ecuación 21.9):
\(z_4 = z_3 i_{i2} = 74.29\)
Según el valor obtenido redondeo al entero más cercano:
\(z_4 =74\)
Relación de transmisión real de la segunda etapa (Ecuación 21.9):
\(i_2 = \dfrac{z_4}{z_3} = 2.85\)
Diámetro primitivo de la corona (Ecuación 21.1):
\(d_4 = z_4 m_2 = 296\, \text{mm}\)
Relación de transmisión real total (Ecuación 21.62):
\(i_{total} = i_1 i_2 = 10.06\)
Velocidad real del eje III (Ecuación 21.9):
\(n_3 = \dfrac{n_2}{i_2} = 298.32\, \text{rpm}\)
Momento de torsión del eje III:
\(T_{AB} = T_2 i_2 = 440.15\, \text{Nm}\)
\(T_3 = T_{AB}\)
Distancia entre ejes II y III (Ecuación 21.8):
\(a_2 = \dfrac{d_3 + d_4}{2} = 200\, \text{rpm}\)
N. Determinación de la eficiencia del engranaje
Eficiencia para un tren de engranajes de dientes rectos de dos etapas:
\(\eta_Z = 0.99\)
\(\eta_{Zt} = \eta_Z^2 = 0.98\)
Eficiencia para un eje con dos rodamientos:
\(\eta_L = 0.99\)
\(\eta_{Lt} = \eta_L^2 = 0.98\)
Eficiencia de sellado del eje (entrada/salida) incluye la lubricación:
\(\eta_D = 0.98\)
\(\eta_{Dt} = \eta_D^2 = 0.96\)
Eficiencia global (Ecuación 20.5):
\(\eta_t = \eta_{Z t} \eta_{Lt} \eta_{Dt}=0.92\)
O. Determinación de las fuerzas en el eje intermedio:
P. Determinación de la fuerza en dientes de los engranajes
Fuerza tangencial en el engranaje 2 (Ecuación 21.67):
\(F_{t2} = \dfrac{2 T_2}{d_2} = 0.97\, \text{kN}\)
Ángulo de presión:
\(\alpha = 20\, \text{º}\)
Fuerza radial en el engranaje 2 (Ecuación 21.69):
\(F_{r2} = F_{t2} tan(\alpha) = 0.35\, \text{kN}\)
Fuerza normal resultante en en el engranaje 2:
\(F_{b2} = \sqrt{F^2_{t2} + F^2_{r2}} = 1.04\, \text{kN}\)
Fuerza tangencial en el engranaje 3:
\(F_{t3} = \dfrac{2 T_2}{d_3} = 2.97\, \text{kN}\)
Fuerza radial en el engranaje 3:
\(F_{r3} = F_{t3} tan(\alpha) = 1.08\, \text{kN}\)
Fuerza normal resultante en en el engranaje 3:
\(F_{b3} = \sqrt{F^2_{t3} + F^2_{r3}} = 3.16\, \text{kN}\)
Q. Determinación de las fuerzas de apoyo
Longitudes en eje II:
\(l_{AZ} = 48\, \text{mm}\)
\(l_{Z} = 86\, \text{mm}\)
\(l_{BZ} = 64\, \text{mm}\)
Visualización en el plano x:
\(F_{BX} = \dfrac{- F_{r2} l_{AZ} + F_{r3} (l_{AZ}+l_Z)}{l_{AZ} + l_Z + l_{BZ}} = 0.65\, \text{kN}\)
\(F_{AX} = F_{r2} – F_{r3} + F_{BX} = -0.08\, \text{kN}\)
El valor negativo invierte el sentido de la fuerza.
Visualización en el plano y:
\(F_{BY} = \dfrac{F_{t2} l_{AZ} + F_{t3} (l_{AZ}+l_Z)}{l_{AZ} + l_Z + l_{BZ}} = 2.25\, \text{kN}\)
\(F_{AY} = F_{t2} + F_{t3} – F_{BY} = 1.7\, \text{kN}\)
Fuerzas resultantes:
\(F_A = \sqrt{F^2_{AX} + F^2_{AY}} = 1.7\, \text{kN}\)
\(F_B = \sqrt{F^2_{BX} + F^2_{BY}} = 2.34\, \text{kN}\)
R. Diseño de los rodamientos
Carga de rodamiento equivalente:
\(P = max(F_A, F_B) = 2.34\, \text{kN}\)
Se recomienda que la vida útil de los rodamientos sea de 10000 horas.
Factor de vida útil (Tabla 14-5):
\(f_L = 2.75\)
Factor de velocidad para el eje II (Tabla 14-4):
\(f_n = 0.35\)
Capacidad de carga dinámica requerida (Ecuación 14.1):
\(C_{erf} = P \dfrac{f_L}{f_n} = 18.38\, \text{kN}\)
Capacidad de carga dinámica para el rodamiento elegido:
\(C_{rod} = 29\, \text{kN}\)
Se eligió Rodamiento 6208 (Tabla 14-2).
Verificación del diseño del rodamiento:
\(C_{erf} < C_{rod} =>\, \text{OK!}\)
S. Cálculo de la resistencia del eje intermedio II
Cálculo estático:
Momento de flexión máximo:
\(M_{max} = P l_{BZ} = 149.74\, \text{Nm}\)
Diámetro del eje:
\(D = 40\, \text{mm}\)
Altura de la chaveta:
\(t = 5\, \text{mm}\)
Profundidad de la ranura (Tabla 12-2a):
\(d = D – t = 35\, \text{mm}\)
Módulo de sección axial (Tabla 11-3):
\(W_b = 0.012 (D +d)^3 = 5062.5\, \mathrm{mm^3}\)
Tensión máxima de flexión:
\(\sigma_{bmax} = \dfrac{M_{max}}{W_b} = 29.58\, \mathrm{N/mm^2}\)
Momento de torsión del eje intermedio:
\(T_{max} = T_2 = 154.65\, \mathrm{Nm}\)
Momento polar de resistencia (Tabla 11-3):
\(W_t = 0.2 d^3 = 8575\, \mathrm{mm^3}\)
Esfuerzo de torsión máximo:
\(\tau_{tmax} = \dfrac{T_{max}}{W_t} = 18.03\, \mathrm{N/mm^2}\)
Límite de elongación (Tabla 1-1):
\(R_{p0.2N} = 490\, \mathrm{N/mm^2}\)
Factor de influencia del tamaño tecnológico (Tabla 3-11a):
\(K_t = 0.97\)
Límite elástico a flexión (Ecuación 11.23):
\(\sigma_{bF} = 1.2 R_{p0.2N} K_t = 570.36\, \mathrm{N/mm^2}\)
Límite elástico torsional (Ecuación 11.23):
\(\sigma_{tF} = \dfrac{1.2 R_{p0.2N} K_t}{\sqrt{3}} = 329.3\, \mathrm{N/mm^2}\)
Factor de seguridad mínimo (Tabla 3-14a):
\(S_{Fmin} = 1.5\)
Factor de seguridad a la fluencia (Ecuación 11.23):
\(S{F} = \dfrac{1}{\sqrt{(\dfrac{\sigma_{bmax}}{\sigma_{bF}})^2 + (\dfrac{\tau_{tmax}}{\tau_{\tau_{tF}}})^2}} = 329.3\, \mathrm{N/mm^2}\)
Verificación del factor de seguridad:
\(S_{F} > S_{Fmin} =>\, \text{OK!}\)
Cálculo dinámico:
Resistencia a la fatiga por flexión (Tabla 1-1):
\(\sigma_{bWN} = 350\, \mathrm{N/mm^2}\)
Factor de influencia del tamaño tecnológico (Tabla 3-11a):
\(K_t = 1\)
Número de efecto de muesca (Tabla 3-9b):
\(\beta_{kb} = 1.8\)
Factor de influencia del tamaño geométrico (Tabla 3-11c):
\(K_{g} = 0.88\)
Factor de influencia de la rugosidad de la superficie (Tabla 3-10a):
\(K_{O\sigma} = 0.93\)
Factor de influencia para endurecimiento de la superficie (Tabla 3-12):
\(K_{v} = 1\)
Factor de diseño para la flexión (Ecuación 3.16):
\(K_{Db} = (\dfrac{\beta_{kb}}{K_g} + \dfrac{1}{K_{O\sigma}} – 1) \dfrac{1}{K_v} = 2.12\)
Resistencia a fatiga para flexión alterna (Ecuación 3.32):
\(\sigma_{bGW} = (\dfrac{K_t \sigma_{bWN}}{K_{Db}} = 165.04\, \mathrm{N/mm^2}\)
Factores utilizados para calcular la sensibilidad de tensión media (Tabla 3-13):
\(\alpha_M = 0.00035\, \mathrm{mm^2/N}\)
\(b_M = – 0.1\)
Resistencia a la tracción:
\(R_{mN} = 700\, \mathrm{N/mm^2}\)
Equivalencia de término:
\(R_m = R_{mN}\)
Sensibilidad de la tensión media (Ecuación 3.19):
\(\psi_{\sigma} = \alpha_m + b_M\)
Esfuerzo medio de tracción/compresión:
\(\sigma_{zdm} = 0\, \mathrm{N/mm^2}\)
Tensión media de flexión:
\(\sigma_{bm} = 0\, \mathrm{N/mm^2}\)
Esfuerzo medio de torsión:
\(\tau_{tm} = \tau_{tmax} = 18.03\, \mathrm{N/mm^2}\)
Tensión media equivalente (Ecuación 3.20):
\(\sigma_{mv} = \sqrt{(\sigma{zdm} + \sigma{bm})^2 + 3 \tau_{tm}^2} = 31.24\, \text{N/mm^2}\)Equivalencia de términos:
\(\sigma_{ba} = \sigma_{bmax}\)
Resistencia a la deflexión para el caso de sobrecarga (Ecuación 3.18b):
\(\sigma_{bGA} = \dfrac{\sigma_{bGW}}{1 + \psi_{\sigma} \dfrac{\sigma_{mv}}{\sigma_{ba}}} = 143.12\, \mathrm{N/mm^2}\)
Valor mínimo de seguridad (Tabla 3-14a):
\(S_{Derf} = 1.5\)
Factor de seguridad contra la rotura por fatiga (Ecuación 3.32):
\(S_{D} = \dfrac{\sigma_{bGA}}{\sigma{ba}} = 4.84\)
Verificación:
\(S_{D} > S_{Derf} =>\, \text{OK!}\)
T. Cálculo de resistencia de chaveta en el árbol de transmisión I
El acero para chavetas es AISI 1045.
Torque:
\(T = T_{An} = 43.77\, \text{Nm}\)
Datos del canal:
\(h = 8\, \text{mm}\)
\(t_1 = 5\, \text{mm}\)
Altura del canal:
\(h_{tr} = h – t_1 = 3\, \text{mm}\)
Longitud del cubo:
\(l_N = 80\, \text{mm}\)
Distancia al borde del canal:
\(a = 5\, \text{mm}\)
Longitud de la chaveta:
\(l = l_N -2a = 70\, \text{mm}\)
Ancho de chaveta (Tabla 12-2a):
\(b = 12\, \text{mm}\)
Longitud de carga de la chaveta (Ecuación 12.1):
\(l_{tr1} = l – b = 58\, \text{mm}\)
Longitud de carga para el cálculo (Ecuación 12.1):
\(l_{trmax} = 1.3 d_{sh} = 54.6\, \text{mm}\)
Equivalencia de términos:
\(l_{tr} = l_{trmax}\)
Número de chavetas:
\(n = 1\)
Factor de carga para chaveta:
\(\varphi = 1\)
Determinación de la presión superficial según el método C (Ecuación 12.1):
\(P_m = \dfrac{2 T}{d_{sh} h_{tr} l_{tr} n \varphi} = 12.72\, \mathrm{N/mm^2}\)
Coeficiente de seguridad (Tabla 12-1b):
\(S_B = 1.1\)
Factor de influencia de tamaño (Tabla 3-11b):
\(K_t = 0.98\)
Resistencia a la tracción (Tabla 1-2):
\(R_{mN} = 700\, \mathrm{N/mm^2}\)
Resistencia a la tracción para ruedas dentadas:
\(R_{m} = K_t R_{mN} = 686\, \mathrm{N/mm^2}\)
Presión superficial admisible del material más débil según el método C:
\(P_{adm} = \dfrac{R_m}{S_B} = 623.64\, \mathrm{N/mm^2}\)
Factor para materiales frágiles (Ecuación 12.1):
\(f_L = 1\)
Verificación:
\(P_m < f_L P_{adm} =>\, \text{OK!}\)
U. Deformación del eje intermedio
Módulo de elasticidad (Tabla 1-1):
\(E = 210\, \mathrm{kN/mm^2}\)
Dimensiones:
Segundo momento del área (Tabla 11-3):
\(I = \dfrac{\pi d^4}{64} = 125663.71\, \text{mm^4}\)
Deflexión para el caso de carga eje X (Tabla 11-6):
\(f_x = \dfrac{F_{r3} a^2 b^2}{3 E I l} = 0.01\, \text{mm}\)
Deflexión para el caso de carga eje Y (Tabla 11-6):
\(f_x = \dfrac{F_{t3} a^2 b^2}{3 E I l} = 0.02\, \text{mm}\)
Deflexión resultante:
\(f_{res} = \sqrt{f_x^2 + f_y^2} = 0.02\, \text{mm}\)
Deflexión admitida (Tabla 11-5b):
\(f_{adm} = \dfrac{m_2}{100} = 0.04\, \text{mm}\)
Verificación:
\(f_{res} < f_{adm} =>\, \text{OK!}\)
Análisis estático
Datos del grafico:
\(l_b = 49\, \mathrm{mm}\)
Momento de flexión máximo:
\(M_{max} = F_{b3} l_b = 155.08\, \mathrm{Nmm}\)
Diámetro del socavamiento:
\(d = 49.6\, \text{mm}\)
Módulo de sección axial a flexión (Tabla 11-3):
\(W_b = \dfrac{\pi d^3}{32} = 11979.67\, \mathrm{mm^3}\)
Límite de elasticidad (Tabla 1-1):
\(R_{p0.2N} = 490\, \mathrm{N/mm^2}\)
Factor de tamaño (Tabla 3-11a):
\(K_t = 0.93\)
Límite elástico de flexión (Ecuación 11.23):
\(\sigma_{bF} = 1.2 R_{p0.2N} K_t = 546.84\, \mathrm{N/mm^2}\)
Tensión máxima de flexión:
\(\sigma_{bmax} = \dfrac{M_{max}}{W_b} = 12.94\, \mathrm{N/mm^2}\)
Torsión en el eje de salida:
\(T_{max} = T_{AB} = 440.15\, \mathrm{N/mm}\)
Módulo de sección polar para torsión (Tabla 11-3):
\(W_t = \dfrac{\pi d^3}{16} = 23959.34\, \mathrm{mm^3}\)
Esfuerzo de torsión máximo:
\(\tau_{tmax} = \dfrac{T_{max}}{W_t} = 18.37\, \mathrm{N/mm^2}\)
Límite elástico torsional (Ecuación 11.23):
\(\tau_{tF} = \dfrac{1.2 R_{p0.2N} K_t}{\sqrt{3}} = 315.72\, \mathrm{N/mm^2}\)
Factor de seguridad mínimo (Tabla 3-14a):
\(S_{Fmin} = 1.5\)
Factor de seguridad calculado (Ecuación 11.23):
\(S_F = \dfrac{1}{\sqrt{(\dfrac{\sigma_{bmax}}{\sigma_{bF}})^2 + (\dfrac{\tau_{tmax}}{\tau_{tF}})^2}} = 15.92\)
Verificación:
\(S_F > S_{Fmin} =>\, \text{OK!}\)
Análisis dinámico
Tensión de flexión alterna (Tabla 1-1):
\(\sigma_{bWN} = 350\, \mathrm{N/mm^2}\)
Factor de influencia de tamaño (Tabla 3-11a):
\(K_t = 1\)
Número de forma de muesca de flexión para ranura anular (Tabla 3-6c):
\(\alpha_{\sigma R} = 3.7\)
Número de forma de muesca de flexión para talón (Tabla 3-6d):
\(\alpha_{\sigma A} = 2.9\)
Relación de diámetros y radios:
\(D = 60\, \text{mm}\)
\(D_1 = 60\, \text{mm}\)
\(r = 1\, \text{mm}\)
\(\dfrac{D}{d} = 1.21\)
\(\dfrac{r}{d} = 0.02\)
Número de forma de muesca de plegado (Tabla 3-6f):
\(\alpha_{\sigma F} = (\alpha_{\sigma R} – \alpha_{\sigma A}) \sqrt{\dfrac{D_1 – d}{D – d}} + \alpha_{\sigma A} = 3.06\)
Conversión de unidades:
\(\alpha_k = \alpha_{\sigma F}\)
Número de soporte para el componente (Ecuación 3.15b):
\(n_0 = 1\)
Número de soporte considerando la caída de tensión (Ecuación 3.7c):
\(n = 1.3\)
Número de efecto de muesca para tensión de flexión (Tabla 3-9b):
\(\beta_{kb} = \dfrac{\alpha_k}{n_0 n} = 2.35\)
Factor de influencia de tamaño geométrico (Tabla 3-11c):
\(K_g = 0.86\)
Factor de influencia de la rugosidad de la superficie (Tabla 3-10a):
\(K_{0\sigma} = 0.93\)
Factor de influencia para el endurecimiento de la superficie (Tabla 3-12):
\(K_v = 1\)
Factor de diseño para tensión normal (Ecuación 3.16):
\(K_{Db} = (\dfrac{\beta_{kb}}{K_g} + \dfrac{1}{K_{O\sigma}} – 1) \dfrac{1}{K_v} = 2.81\)
Factor de influencia de tamaño (Tabla 3-11a):
\(K_t = 1\)
Diseño a fatiga para la alternancia (Ecuación 3.32):
\(\sigma_{bGW} = \dfrac{K_t \sigma_{bWN}}{K_{Db}} = 124.58\, \mathrm{N/mm^2}\)
Radio de transición:
\(R = 1\, \text{mm}\)
\(r = R\)
Coeficiente para determinar la relación de la caída de tensión:
\(\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{8 \dfrac{(D – d)}{r} + 2}} = 0.09\)
Gradiente de tensión (Tabla 3-7c):
\(G_1 = \dfrac{2.3}{r} (1 + \varphi) = 2.51\, \mathrm{mm^- 1}\)
Factores para calcular la sensibilidad de la tensión media (Tabla 3-13):
\(\alpha_M= 0.00035\, \mathrm{mm^2/N}\)
\(b_M= – 0.1\)
Resistencia a la tracción:
\(R_{mN}= 700\, \mathrm{N/mm^2}\)
\(R_{m}= R_{mN}\)
Sensibilidad de tensión media (Ecuación 3.19):
\(\psi_{\sigma} = \alpha_M + b_M = 0.15\)
Esfuerzo medio de tracción/compresión:
\(\psi_{zdm} = 0\, \mathrm{N/mm^2}\)
Tensión media de flexión:
\(\sigma_{bm} = 0\, \mathrm{N/mm^2}\)
Esfuerzo medio de torsión:
\(\tau_{tm} = \tau_{tmax} = 18.37\, \mathrm{N/mm^2}\)
Tensión media equivalente (Ecuación 3.20):
\(\sigma_{mv} = \sqrt{(\sigma_{zdm} + \sigma_{bm})^2 + 3 \tau_{tm}^2} = 31.82\, \mathrm{N/mm^2}\)
Tensión de flexión de la carga de flexión:
\(\sigma_{ba} = \sigma_{bmax} = 12.94\, \mathrm{N/mm^2}\)
Resistencia a la deflexión para el caso de sobrecarga (Ecuación 3.18b):
\(\sigma_{bGA}=\dfrac{\sigma_{bGW}}{1 + \varphi_{\sigma} \dfrac{\sigma_{mv}}{\sigma_{ba}}} = 91.84\, \mathrm{N/mm^2}\)
Valor mínimo de seguridad (Tabla 3-14a):
\(S_{Dreq} = 1.5\)
Factor de seguridad contra la rotura por fatiga (Ecuación 3.32):
\(S_D = \dfrac{\sigma_{bGA}}{\sigma_{ba}} = 7.09\)
Verificación:
\(S_D > S_{Dreq} =>\, \text{OK!}\)
W. Análisis de la resistencia del canal chavetero en el eje de salida
Torque:
\(T_{max} = 440.15\, \text{Nm}\)
Altura chaveta:
\(h = 9\, \text{mm}\)
Profundidad de ranura (Tabla 12-2a):
\(t_1 = 5\, \text{mm}\)
\(h_{tr} = h – t_1 = 4\, \text{mm}\)
Longitud del cubo:
\(l_N = 98\, \text{mm}\)
Distancia libre:
\(a = 9\, \text{mm}\)
Longitud de canal:
\(l = l_N – 2a = 80\, \text{mm}\)
Ancho (Tabla 12-2a):
\(b = 14\, \text{mm}\)
Longitud de chaveta (Ecuación 12.1):
\(l_{tr1} = l – b = 66\, \text{mm}\)
Diámetro del eje:
\(d = 50\, \text{mm}\)
Longitud de cálculo (Ecuación 12.1):
\(l_{trmax} = l.3 d = 65\, \text{mm}\)
\(l_{tr} = l_{trmax}\)
Número de canales:
\(n = 1\)
Factor de carga:
\(\varphi = 1\)
Determinación de la presión superficial:
\(P_m = \dfrac{2 T_{max}}{d h_{tr} l_{tr} n \varphi} = 67.71\, \mathrm{N/mm^2}\)
Factor de seguridad promedio (Tabla 12-1b):
\(S_B = 1.1\)
Factor de influencia del tamaño para el diámetro del engranaje (Tabla 3-11b):
\(K_t = 0.86\)
Resistencia a la tracción (Tabla 1-2):
\(R_{mN} = 700\, \mathrm{N/mm^2}\)
Resistencia a la tracción del engrane:
\(R_{m} = K_t R_{mN} = 602\, \mathrm{N/mm^2}\)
Presión superficial admisible del material más débil:
\(P_{req} = \dfrac{R_m}{S_B} = 547.27\, \mathrm{N/mm^2}\)
Factor de frecuencia (Ecuación 12.1):
\(f_L = 1\)
Verificación:
\(P_m < f_L P_{req} =>\, \text{OK!}\)
X. Comprobación de la carga admisible en el eje del motor
Valores para el motor seleccionado (Tabla 16-21):
\(F_0 = 1.59\, \text{kN}\)
\(F_1 = 2.04\, \text{kN}\)
\(l = 110\, \text{mm}\)
Ancho del cubo:
\(l_N = 80\, \text{mm}\)
Ancho del engranaje:
\(b_1 = 70\, \text{mm}\)
Aplicación de potencia en el centro del engranaje:
\(l_x = l_N – b_1 + \dfrac{b_1}{2} = 45\, \text{mm}\)
Fuerza motriz en el piñón:
\(F_1 = F_{b2} = 1.04\, \text{kN}\)
Fuerza admisible (Tabla 16-21):
\(F_{adm} = F_0 + \dfrac{F_1 – F_0}{l} l_x = 1.36\, \text{kN}\)
Verificación:
\(F_{adm} > F_1 =>\, \text{OK!}\)
